Cara Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak, Sifat-Sifat, Contoh Soal dan Pembahasan

📐 Persamaan Nilai Mutlak

Panduan lengkap cara menyelesaikan persamaan nilai mutlak dengan sifat-sifat dan contoh soal

📚 Definisi Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari suatu bilangan adalah jarak bilangan tersebut dari nol pada garis bilangan.

$|x| = \begin{cases} x, & \text{jika } x \geq 0 \\ -x, & \text{jika } x < 0 \end{cases}$

⚡ Sifat-Sifat Nilai Mutlak

Sifat Dasar:

• • $|x| \geq 0$ untuk semua $x$
• • $|x| = |-x|$
• • $|x| = 0$ jika dan hanya jika $x = 0$
• • $|xy| = |x| \cdot |y|$

Sifat Persamaan:

• • $|x| = a$ ⟹ $x = a$ atau $x = -a$ (jika $a \geq 0$)
• • $|x| = a$ tidak ada solusi jika $a < 0$
• • $|f(x)| = |g(x)|$ ⟹ $f(x) = g(x)$ atau $f(x) = -g(x)$

🔧 Langkah-Langkah Penyelesaian

1

Identifikasi bentuk persamaan

Tentukan apakah berbentuk $|f(x)| = a$ atau $|f(x)| = |g(x)|$

2

Buat kasus-kasus

Pisahkan menjadi kasus positif dan negatif

3

Selesaikan setiap kasus

Hitung nilai x untuk masing-masing kasus

4

Verifikasi solusi

Substitusi kembali ke persamaan awal

📝 Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1: Bentuk Sederhana

Selesaikan: $|2x - 3| = 7$

Langkah 1: Buat dua kasus berdasarkan definisi nilai mutlak

Kasus 1: $2x - 3 = 7$

$2x = 10$

$x = 5$

Kasus 2: $2x - 3 = -7$

$2x = -4$

$x = -2$

Verifikasi:

Untuk $x = 5$: $|2(5) - 3| = |7| = 7$ ✓

Untuk $x = -2$: $|2(-2) - 3| = |-7| = 7$ ✓

Jawaban: $x = 5$ atau $x = -2$

Contoh 2: Bentuk Kompleks

Selesaikan: $|x + 1| = |2x - 4|$

Langkah 1: Buat dua kasus

Kasus 1: $x + 1 = 2x - 4$

$1 + 4 = 2x - x$

$5 = x$

$x = 5$

Kasus 2: $x + 1 = -(2x - 4)$

$x + 1 = -2x + 4$

$3x = 3$

$x = 1$

Verifikasi:

Untuk $x = 5$: $|5 + 1| = 6$ dan $|2(5) - 4| = 6$ ✓

Untuk $x = 1$: $|1 + 1| = 2$ dan $|2(1) - 4| = 2$ ✓

Jawaban: $x = 5$ atau $x = 1$

Contoh 3: Tidak Ada Solusi

Selesaikan: $|3x + 2| = -5$

Analisis:

Nilai mutlak selalu menghasilkan bilangan non-negatif ($\geq 0$)

Karena $-5 < 0$, maka persamaan ini tidak memiliki solusi

Jawaban: Tidak ada solusi (himpunan kosong)

🎯 Latihan Soal

1. Selesaikan: $|x - 4| = 6$

Jawaban: $x = 10$ atau $x = -2$

2. Selesaikan: $|2x + 1| = |x - 3|$

Jawaban: $x = 2$ atau $x = \frac{2}{3}$

3. Selesaikan: $|5 - 2x| = 9$

Jawaban: $x = -2$ atau $x = 7$

💡 Tips Penting

✅ Yang Harus Dilakukan:

• • Selalu periksa apakah ruas kanan ≥ 0
• • Buat semua kasus yang mungkin
• • Verifikasi setiap solusi
• • Tulis jawaban dalam bentuk himpunan

❌ Yang Harus Dihindari:

• • Lupa membuat kasus negatif
• • Tidak memverifikasi jawaban
• • Mengabaikan syarat domain
• • Salah dalam operasi aljabar